對(duì)于方程，相信童鞋們都不陌生，它是我們?cè)诮鈹?shù)量關(guān)系題目時(shí)的常用方法之一。用方程求解問(wèn)題的步驟，我相信大家都知道，設(shè)未知數(shù)、找等量關(guān)系、列方程、解方程，這so easy呀！但問(wèn)題就在于不是所有的方程都能通過(guò)正常的方式解出未知數(shù)的值。

比如：2x+y=10，這里只有一個(gè)式子，無(wú)法解出x和y的具體值，x和y是有無(wú)數(shù)組解的。這種列式就是咱們今天要討論的內(nèi)容——不定方程。

1.什么是不定方程

未知數(shù)的個(gè)數(shù)大于等式的個(gè)數(shù)，稱為不定方程。在數(shù)量關(guān)系中，不定方程里的未知數(shù)的求解范圍一般為整數(shù)、正整數(shù)、有理數(shù)，現(xiàn)如今大部分的題求解范圍都是正整數(shù)。

雖然不定方程一般來(lái)說(shuō)都有無(wú)數(shù)組解，但因?yàn)槲粗獢?shù)的取值范圍做了限定，進(jìn)而導(dǎo)致不定方程的解變得有限甚至是唯一，故而可以通過(guò)一些小方法將不定方程中未知數(shù)的值求解出來(lái)。

2.不定方程求解方法

1.奇偶特性

【基礎(chǔ)】加減：同奇同偶為偶，一奇一偶為奇，和差同性

乘：一個(gè)為偶則為偶，全部為奇則為奇

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是：奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)；奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)；偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)；

奇數(shù)-奇數(shù)=偶數(shù)；奇數(shù)-偶數(shù)=奇數(shù)；偶數(shù)-偶數(shù)=偶數(shù)；

奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)；奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)；偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)。

大家可以做一個(gè)小練習(xí)

【練習(xí)】?jī)蓴?shù)和是奇數(shù)，那么差是 ；

兩數(shù)和是奇數(shù)，那么兩數(shù)；

兩數(shù)和是偶數(shù)，那么兩數(shù)。

兩數(shù)乘積是奇數(shù)，那么兩數(shù)；

乘積是偶數(shù)，那么至少有一個(gè)數(shù)是。

方程特征：方程中未知數(shù)的系數(shù)一奇一偶

如：ax+by=c，a、b為一奇一偶時(shí)考慮奇偶特性

【例1】已知7x+4y=86，其中x與y均為正整數(shù)，求x=?

A.13         B.14          

C.15         D.17

【金標(biāo)尺解析】B。4y為偶數(shù)，86為偶數(shù)，所以7x一定為偶數(shù)，因?yàn)?為奇數(shù)，所以x為偶數(shù)，符合條件的只有B項(xiàng)，故選B項(xiàng)。

2.尾數(shù)法

方程特征：方程中未知數(shù)系數(shù)以0或5結(jié)尾，可以根據(jù)尾數(shù)確定答案

如：ax+by=c，a、b以0或5結(jié)尾時(shí)考慮尾數(shù)法

【例2】已知6x+5y=434，其中x與y均為正整數(shù)，求x=?

A.21         B.34           

C.45         D.62

【金標(biāo)尺解析】B。434的尾數(shù)是4，則6x+5y的尾數(shù)是4，即6x的尾數(shù)+5y的尾數(shù)所得結(jié)果的尾數(shù)也是4。由于5y的尾數(shù)只能是0或5，則6x的尾數(shù)是4或9，由于6x是偶數(shù)，則6x的尾數(shù)只能是4，只有當(dāng)x的尾數(shù)是4或9時(shí)才能保證6x的尾數(shù)是4，符合條件的只有B項(xiàng)，故選B項(xiàng)。

3.倍數(shù)法

方程特征：某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)與常數(shù)有公約數(shù)，則另一個(gè)未知數(shù)必為該公約數(shù)的倍數(shù)

如：ax+by=c，a、c或b、c是某個(gè)數(shù)的倍數(shù)時(shí)考慮倍數(shù)法

【例3】已知6x+5y=435，其中x與y均為正整數(shù)，求x=?

A.21         B.34           

C.45         D.62

【金標(biāo)尺解析】C。由于5y和435都是5的倍數(shù)，則6x一定是5的倍數(shù)，又因?yàn)?不是5的倍數(shù)，則x一定是5的倍數(shù)，符合條件的只有C項(xiàng)，故選C項(xiàng)。

4.代入排除法：把選項(xiàng)代入題干當(dāng)中，選出正確答案。 

【例4】裝某種產(chǎn)品的盒子有大、小兩種尺寸，大盒子每盒能裝11個(gè)，小盒每盒能裝8個(gè)，要把89個(gè)產(chǎn)品裝入盒內(nèi)，要求每個(gè)盒子恰好裝滿，需要大、小盒子各多少個(gè)？

A.3，7         B.4，6          

C.5，4         D.6，3 

【金標(biāo)尺解析】A。設(shè)大盒子有x個(gè)，小盒子有y個(gè)，由題意可知：11x+8y=89，代入A項(xiàng)，11×3+8×7=33+56=89，符合題意，正確；驗(yàn)證B項(xiàng)，11×4+8×6=44+48≠89，排除；同理代入C，D會(huì)發(fā)現(xiàn)不符合題干要求，故選A項(xiàng)。

以上四種方法是解決不定方程最常用的方法，可能有些童鞋有疑問(wèn)：“萬(wàn)一我方程列出來(lái)了，但不知道用什么方法怎么辦？”這種情況不用擔(dān)心，這四種方法對(duì)于很多題都是可以混用的，甚至在一些題目里也會(huì)將多種方法結(jié)合在一起去求解。所以，在考場(chǎng)上，想到什么方法就用什么方法。

在數(shù)量關(guān)系里，有些題愛(ài)考不定方程，還有些題愛(ài)考不定方程組。那么不定方程組又該如何解決呢？

我們可以將不定方程組的問(wèn)題分為兩類：

1.不定方程組——求某個(gè)量的具體值

對(duì)于這種題型，我們需要將不定方程組通過(guò)消元法轉(zhuǎn)化成不定方程，再通過(guò)上述的四大方法來(lái)求解。

【例5】某單位為業(yè)務(wù)技能大賽獲獎(jiǎng)職工發(fā)放獎(jiǎng)金，一、二、三等獎(jiǎng)每人獎(jiǎng)金分別為 800、 700 和 500 元。11 名獲一、二、三等獎(jiǎng)的職工共獲獎(jiǎng)金 6700 元，問(wèn)有多少人獲得三等獎(jiǎng)（   ）。

A.3             B.4            

C.5             D.6

【金標(biāo)尺解析】D。設(shè)獲得一、二、三等獎(jiǎng)的職工分別有x，y，z人。由題意得：x+y+z=11①，800x+700y+500z=6700，化簡(jiǎn)可得8x+7y+5z=67②，且x，y，z均為正整數(shù)。本題求z的值，通過(guò)消元可得2z-x=10。代入A項(xiàng)，2×3-x=10，得x=-4不為正整數(shù)，不符合題意，排除；同理代入B、C兩項(xiàng)可得x均不為正整數(shù)，排除。故選D項(xiàng)。

2.不定方程組——某些量的和

比如已知3x+y+z=12①，4x+y+5z=27②，求x+y+z=?

對(duì)于這種題，我們的解題方法就是特值法。我們得知道，不定方程是有無(wú)數(shù)組解的，但數(shù)量關(guān)系只考單選題，也就是說(shuō)任意一組解都能保證x+y+z的和是同樣的結(jié)果，而在這無(wú)數(shù)組解中必定有一組解是其中一個(gè)未知數(shù)為0。因此對(duì)于這種題型的解題技巧就是將其中一個(gè)未知數(shù)設(shè)為0，進(jìn)而將不定方程組轉(zhuǎn)換為普通方程組，求出其余未知數(shù)的具體值，再求這些未知數(shù)的和。為了方便計(jì)算，一般我們將系數(shù)較大的未知數(shù)設(shè)為0，以下題為例：

【例6】甲買(mǎi)3支簽字筆，7支圓珠筆，1支鉛筆，共花32元錢(qián)；乙買(mǎi)同樣的4支簽字筆，10支圓珠筆，1 支鉛筆，共花43元，若同樣的簽字筆、圓珠筆、鉛筆各買(mǎi)1支，共用多少錢(qián)？

A．21             B．11             

C．10             D．17

【金標(biāo)尺解析】C。設(shè)簽字筆、圓珠筆、鉛筆的單價(jià)分別為x，y，z元。由題意可得：3x+7y+z=32①，4x+10y+z=43②。令y=0，可得3x+z=32③，4x+z=43④；聯(lián)立③④式可得x=11，y=-1，則x+y+z=11+0-1=10，故選C項(xiàng)。

小伙伴們學(xué)會(huì)了嗎？接下來(lái)就請(qǐng)大家小試牛刀。

1、某國(guó)家對(duì)居民收入實(shí)行下列稅率方案：每人每月不超過(guò)3000美元的部分按照1%稅率征收，超過(guò)3000美元不超過(guò)6000美元的部分按照X%稅率征收，超過(guò)6000美元的部分按Y%稅率征收（X,Y為整數(shù)）。假設(shè)該國(guó)某居民月收入為6500美元，支付了120美元所得稅，則Y為多少？

A.6             B.3             

C.5             D.4

2、（2016年上·四川）木匠加工2張桌子和4張凳子共需要10個(gè)小時(shí)，加工4張桌子和8張椅子需要22個(gè)小時(shí)。問(wèn)如果他加工桌子、凳子和椅子各10張，共需要多少小時(shí)？

A.47.5         B.50            

C.52.5         D.55

答案在最下方！

還有很多數(shù)量模塊秒殺方法，期待與你相遇哦！

答案：A、C